Неможливі об'єкти Пенроузів

У № 32 від 15 жовтня наша газета розповідала про Почесного доктора КПІ ім. Ігоря Сікорського Роджера Пенроуза – видатного англійського вченого – математика, фізика, філософа, який отримав Нобелівську премію 2020 року з фізики. Ми коротко повідомили про його наукові здобутки, за які присуджено премію, про його ідеї щодо людського мислення, навколо яких точаться дискусії, а також пообіцяли розповісти про цікаві результати його досліджень, які називаються "неможливим трикутником Пенроуза", "неможливими сходами Пенроуза (Пенроузів)", "мозаїкою Пенроуза". Сьогодні розповідаємо про "неможливі об'єкти".

Із 2 по 9 вересня 1954 р. у столиці Нідерландів Амстердамі проходив XII Всесвітній математичний конгрес. З цієї нагоди у Міському музеї Амстердама (Stedelijk Museum Amsterdam) було розгорнуто  велику виставку графічних робіт нині всесвітньо відомого нідерландського художника Мауріца Корнеліса Ешера. Її відкривав член оргкомітету конгресу, секретар його програмного комітету, професор Амстердамського університету Н. Г. де Бряун (N. G. de Bruijn). У каталозі виставки було зазначено, що учасники конгресу отримають велику насолоду від того, що розпізнають у роботах Ешера власні ідеї, виражені засобами, які принципово відрізняються від тих, до яких вони звикли. А в першому томі матеріалів конгресу подавалася коротка інформація про цю виставку і зазначалося, що представлені на ній роботи Ешера "демонструють багато математичних тенденцій і дивовижним чином пов'язані з математичним мисленням". Тут же було вміщено літографію Ешера "День і ніч".

Студент-дослідник Р. Пенроуз був учасником цього конгресу (не делегатом). Він побував на виставці і звернув увагу на роботи, що зображали об'єкти, які реально існувати не можуть. Під враженням від цих творів він довго розмірковував, і врешті-решт придумав фігуру, відому нині як "неможливий трикутник Пенроуза". Згодом разом з батьком – Лайонелом Пенроузом (членом Лондонського Королівського товариства, професором медичної генетики і психології), він придумав ще один неможливий об'єкт – сходи, які одночасно піднімаються і опускаються. Про такого роду об'єкти батько і син написали у 1956 р. статтю "Неможливі об'єкти: особливий тип зорових ілюзій" ("Impossible objects: А special type of visual illusion").

У вступі до статті автори писали, що двовимірні малюнки можуть передавати враження від тривимірних об'єктів, і що за певних обставин це можна використати для створення суперечливих інтерпретацій сприйняття,  і що численні ідеї такого роду використовувалися Ешером (при цьому дали посилання на каталог згаданої вище виставки Ешера в Амстердамі). А далі Пенроузи звернули увагу на існування одного особливого типу фігур, у яких кожна частина сприймається як зображення тривимірного об'єкта, а в цілому, через хибні зв'язки частин, фігура справляє враження неможливого об'єкта. Як елементарний приклад вони помістили у статті перспективний малюнок неможливого трикутника. Кожна його частина сприймається як паралелепіпед, однак на малюнку лінії проведено так, що виникає враження неможливого об'єкта. Там само зобразили більш складну неможливу структуру такого ж типу, як неможливий трикутник.

Далі вони написали про ще один варіант такого самого типу ілюзії: неможливі сходи. Кожна частина малюнку є прийнятною, оскільки зображає проліт сходів. Однак прольоти на малюнку пов'язані так, що в цілому дають зображення неможливого об'єкта: якщо рухатися за годинниковою стрілкою, то сходинки постійно спускаються, але йдуть колом. У статті було вміщено малюнок неможливих сходів і фото конструкції, яка, відзнята з певної точки, виглядає як неможливі сходи.

Статтю Пенроузів було опубліковано у "Британському психологічному журналі" (British Journal of Psychology) у 1958 р. Копію статті автори надіслали М.Ешеру. Вона надихнула художника на створення двох літографій:  "Сходження і спуск" (1960 р.) і "Водоспад" (1961 р.). В обох втілено ідею неможливих сходів.

Слід сказати, що фігуру, відому як "неможливий трикутник Пенроуза", зобразив ще у 30-ті роки учень гімназії швед Оскар Рейтерсверд (Oscar Reutersvаrd, 1915-2002). Згодом він став художником, скульптором, професором історії та теорії мистецтва. І продовжував малювати різноманітні неможливі об'єкти. Проте ставився до цього як до хобі – показував ці малюнки друзям, але ніколи їх не публікував і не представляв на виставках. Наприкінці 50-х років ХХ ст. Рейтерсверд отримав від знайомого копію згаданої вище статті Пенроузів. Прочитавши статтю, він усвідомив, що неможливі об'єкти, які малював, представляють інтерес для науки. Завдяки цьому в нього виникло велике бажання створювати нові малюнки неможливих об'єктів. За словами Рейтерсверда, він перетворився на безперервно діючу машину з виробництва неможливого, яка в подальшому виготовляла близько ста неможливих об'єктів на рік. Загалом він намалював їх понад 2500.

На завершення додам, що починаючи з 60-х рр. ХХ ст., все більше художників стали створювати графічні і живописні роботи, на яких були зображення тих чи інших неможливих об'єктів. І сьогодні вже існує цілий напрям в образотворчому мистецтві, відомий під назвою імпоссибілізм, або імп-арт.

Шведська марка із зображенням одного з неможливих трикутників О.Рейтерсверда Літографія М.К.Ешера Водоспад Літографія М.К.Ешера Підйом і спуск
Неможливі трикутники Пенроуза Неможливий трикутник Пенроуза Неможливі сходи Пенроузів