Олександр Олександрович Радціг народився 27 січня (8 лютого за новим стилем) 1869 року в Тверській губернії в сім'ї службовця шляхів сполучення, згодом відомого фахівця з питань експлуатації залізниці та автора низки робіт у цій області Олександра Антоновича Радціг. Середню освіту Олександр отримав у Кременчуцькому реальному училищі, вищу - на механічному факультеті технологічного інституту в Санкт-Петербурзі, закінчивши який у 1891 році, він, для поглиблення технічних знань, вступив до Берлінського університету на математичне відділення.
Після успішного захисту в 1895 році дисертації "Приложение теории Зелова к симметричным группам" на ступінь доктора філософії Олександр Олександрович деякий час працював інженером на Варшавської залізниці, потім - приймальником паротягів на Невському машинобудівному заводі. У 1896 році він був запрошений до Петербурзького технологічного інституту і для підготовки до викладацької діяльності відряджений за кордон, де ознайомився з постановкою занять в інженерних лабораторіях і прослухав ряд лекцій в навчальних закладах Німеччини, Швейцарії та Бельгії, а також відвідав ряд найбільших заводів Німеччини, Швеції, Франції та Бельгії. Після поїздки О.О. Радціг був призначений викладачем креслення.
Навесні 1898 Олександра Олександровича запросили на кафедру термодинаміки і теплових двигунів у Київський політехнічний інститут. Оскільки інститут знаходився ще в стадії організації, О.О. Радціга відрядили за кордон для розробки майбутніх курсів, де в цьому ж році він оглянув ряд машинобудівних заводів Англії, а влітку наступного року взяв участь у конгресі з прикладної механіки в Парижі. У Київському політехнічному інституті Олександр Олександрович виконував обов'язки екстраординарного професора. У 1905 році після захисту дисертації "Математична теорія обміну тепла в циліндрах парових машин" він отримав вчене звання ад'юнкта прикладної механіки і був обраний деканом механічного факультету. В 1908 році на знак протесту проти запровадження реакційних «Правил про студентські організації і проведення зібрань у стінах вищих навчальних закладів» разом із директором інституту В.Ф. Тимофєєвим, деканами В.Г. Бажаєвим, В.Г. Шапошниковим, Є.О. Патоном - Олександр Олександрович подав у відставку. [Шулявська республіка та студентські рухи початку 20 сторіччя]
У 1909 році О.О. Радціга запросили до Петербурзького політехнічного інституту на кафедру прикладної механіки, і вся його подальша діяльність пов'язана з цим інститутом. Двічі, з 1909 по 1919 рік і з 1925 по 1930 рік він обирався деканом механічного факультету. З 13 вересня 1917 Олександр Олександрович Радціг Радою Політехнічного інституту був обраний на посаду директора інституту (до 27.11.1918).
З 1918 по 1930 рік О.О. Радціг був професором кафедри "Термічні машини", з 1930 року до кінця життя - завідувачем кафедрою "Парові турбіни".
44 роки свого життя Олександр Олександрович присвятив викладацькій діяльності у вищій школі, з них 32 - у Петербурзькому - Петроградському - Ленінградському політехнічному інституті. Він брав активну участь у створенні та організації навчального процесу двох механічних відділень - в Київському і Петербурзькому політехнічних інститутах, в 1930 році - у створенні Всесоюзного котлотурбінного інституту, у 1934 році - енергомашинобудівного факультету, який вперше в СРСР почав випускати спеціалістів цього профілю. На початку 1930-х років О.О. Радціг створив першу в країні спеціальну кафедру парових котлів, за зразком і подобою якої було організовано ряд кафедр в інших інститутах. Чимало зробив він і для організації заочної освіти.
Особливої уваги заслуговує наукова діяльність О.О. Радціга, початок якої збіглося з найбільшими винаходами в галузі парових турбін. Він одним з перших оцінив величезну перевагу нового двигуна і його значення для розвитку енергетики, опублікував численні праці з парових турбін - підручники, навчальні та довідкові посібники для студентів і інженерів. У 1926 році був виданий курс парових турбін. Багато років інженери-теплотехніки користувалися довідковим матеріалом "Формули, таблиці та діаграми для водяної пари", які вийшли трьома виданнями. Чотири рази перевидавався курс прикладної механіки і двічі - курс конденсаційних установок паротурбінних станцій.
Ще одна сторона таланту Олександра Олександровича - це його праці з історії науки і техніки. Серед них монографії про Джеймса Уатта і винахід парової машини, "Розвиток парової машини", "Успіхи теплотехніки в СРСР", "Сади Карно і його міркування про рушійну силу вогню".
За кілька років до Вітчизняної війни Олександр Олександрович майже повністю втратив зір. Але його наукова діяльність від цього нітрохи не ослабла, завдяки самовідданій праці його дружини і друга Євгенії Вікторівни, дочки знаменитого вченого Віктора Львовича Кирпичева.
У блокадному Ленінграді Олександр Олександрович продовжував педагогічну діяльність на кафедрі турбінобудування, консультував фахівців оборонної промисловості. Останній запис у його трудовій книжці датований 10 жовтня 1941 говорить, що О.О. Радцігу надано тривалу відпустку без збереження утримання у зв'язку з евакуацією з Ленінграда у м. Свердловськ в розпорядження Академії наук СРСР. Однак Олександру Олександровичу не судилося дістатися до Свердловська. У дорозі він тяжко захворів і помер на станції Буй Північної залізниці 30 грудня 1941.