Карданний вал, карданні зчеплення, карданний підвіс – ці речі сьогодні добре відомі, особливо автомеханікам і фахівцям з інерційної навігації. Математики ще знають формулу Кардано, спеціалісти шифрувальної справи – "решітки Кардано". Все це – справа рук, чи, радше, розуму великого математика, механіка, інженера, геолога, астронома – одним словом, енциклопедиста епохи Відродження Джероламо Кардано. Втім, сам себе він вважав насамперед видатним лікарем – у автобіографічній книзі "Про моє життя" навіть порівнював себе з Гіппократом, Галеном і Авіценною!
Походження
Він народився 24 вересня 1501 року – рівно 510 років тому – у стародавньому місті Павія, що на півночі Італії. 510 років – дата, звісно, не "кругла", але й 10 років тому про півтисячолітній ювілей одного з найпомітніших представників епохи Ренесансу, здається, майже ніхто не згадав. Напевно, далася взнаки часова відстань: ми охоче відзначаємо столітні, навіть двохсотлітні дати, але далі вглиб історії майже не зазираємо. Можливо тому, що люди, які жили так давно, здаються нам істотами напівміфічними, навіть попри їхні звершення і досягнення. А вони таки жили, і про життя деяких з них, як скажімо, Кардано, ми знаємо достатньо багато.
Отже, батько Джероламо Кардано був відомим адвокатом, ім'я якого зустрічається навіть у нотатках Леонардо да Вінчі, але хлопчик народився поза шлюбом. Це дуже зашкодило йому в подальшому, оскільки коли після закінчення Падуанського університету в 1526 році він намагався отримати лікарську практику в Мілані, до міської колегії лікарів його як незаконнонародженого не прийняли. Втім, лікувати він таки розпочав, але в провінційному містечку Галларт. При цьому самовіддано продовжував досліджувати таємниці медицини і навіть почав писати трактати на медичні теми. Проте не лише на медичні, бо цікавила його і філософія, і астрологія, і багато чого ще. Приблизно в ті ж часи розпочав він і кар'єру лектора з математики: ця наука притягувала його з дитинства, і вже в юності він досягнув у ній успіхів не менших, а може й більших, ніж у медицині. А ще він постійно вдосконалював майстерність у азартних іграх, до яких долучився ще в юнацькі роки. Причому не лише грав, але й намагався знайти в грі певні закономірності, що врешті-решт вилилося в одну з його цілком наукових праць – "Книгу про гру в кості", яка містила початки теорії ймовірностей, деякі питання комбінаторики і навіть психології (певна річ, гри і гравців). Зауважимо, що книга була написана, коли він був ще дуже молодою людиною – у 1526 році, але видав він її лише 1563 року.
Ерудит епохи Відродження
Взагалі, книг за своє життя він написав дуже багато. Адже займався не лише медициною та математикою, але й філософією, хімією, геологією, мінералогією, складанням календарів, астрономією та астрологією і, звісно, винахідництвом і конструюванням різноманітних технічних пристроїв. Відомо 138 його друкованих праць загальним обсягом приблизно 7000 сторінок великого формату – in folio. Був навіть автором своєрідних енциклопедій – книги "Про тонкі матерії" та "Про різноманітність речей". До того ж, близько 100 (!) власних творінь він знищив сам в очікуванні арешту за кілька років до смерті.
В усіх галузях, якими займався Джероламо Кардано, він досягав неабиякого успіху. Відомо, наприклад, що до послуг його як астролога вдавався навіть Папа Римський (у ті роки складання гороскопів вважалося цілком богоугодною справою). Існує навіть версія, що й смерть його була невипадковою: буцімто він наклав на себе руки, щоб підтвердити власноруч складений свій гороскоп. Відомості про особливості його характеру, які дійшли до нашого часу, якщо й не змушують повірити в цю похмуру легенду, то принаймні багато чого в його житті пояснюють.
Азартний, мстивий, відчайдушний, гострий на язик, заради досягнення мети готовий на будь-які вчинки і, водночас, великодушний і вірний у дружбі, Кардано, безумовно, був особистістю неординарною. Недарма ж пізніше великий німецький математик і філософ Готфрід Вільгельм Лейбніц зауважив: "Кардано був великою людиною з усіма його недоліками; без них він був би досконалим". Справедливості заради варто зазначити, що ці недоліки були наслідком важкого дитинства: мати вважала його тягарем, соромилася як ганьби й часто-густо виміщала на ньому свій гнів лупцюванням; батько жив окремо і при зустрічах також обмежував виховний вплив ляпасами; до того ж і міцним здоров'ям Кардано не міг похвалитися ні в дитинстві, ні в зрілому віці. Тож те, що інші отримували без усяких зусиль, йому доводилося в життя виривати. Цілком очевидно, що багато в чому саме ранній досвід виживання й сформував урешті-решт як позитивні, так і негативні риси його вдачі та бажання визнання.
Останнє було в його житті надзвичайно важливим. Відомо, наприклад, що навіть славнозвісний пристрій, який отримав його ім'я і відомий нині як карданний вал чи карданний підвіс, з'явився у 1541 році внаслідок того, що Кардано (тоді вже ректору міської колегії лікарів) була виявлена честь у числі найшанованіших громадян Мілана зустрічати іспанського короля Карла V. Він навіть йшов біля королівського балдахіну. Розчулений таким виявом поваги, він запропонував обладнати екіпаж вінценосця підвісом з двох валів, взаємне обертання яких не виводитиме карету з горизонтального положення. Щоправда, ідея такого підвісу була відома достатньо давно і навіть знайшла місце в "Атлантичному кодексі" Леонардо да Вінчі, однак з цим зводом найрізноманітніших відомостей чи не з усіх тоді відомих галузей знань освічені люди змогли познайомитися лише за два століття по тому. А конструкція ця почала все ширше в різноманітних варіантах використовуватися в техніці саме після оприлюднення Кардано.
Таємниця кубічних рівнянь
Приблизно в ті ж роки Кардано активно займається й математикою. Ще в тридцяті роки він почав працювати над великим трактатом з арифметики, перше видання якого побачило світ 1539 року. "Практика загальної арифметики" принесла йому визнання в середовищі знавців математики, але сам автор нею був не надто задоволений. Причиною було те, що в ній не знайшла відображення розгадка однієї тодішньої математичної таємниці, якою він хоча й володів, але не міг оприлюднити через обставину, пов'язану з автором цього відкриття.
Йдеться про спосіб розв'язання кубічних рівнянь. Чи, радше, про рецепти їх розв'язань, бо до впровадження алгебраїчної символіки залишалося ще понад сто років, і те, як знаходити корені рівнянь, математики пояснювали описами необхідних дій, часто – віршованими латиною.
До вирішення цієї проблеми європейські та арабські математики підбиралися кілька століть. У 1494 році відомий італійський вчений Лука Пачолі у книзі "Сума арифметики" – одному з перших друкованих математичних трактатів, написаних, до того ж, не латиною, а італійською мовою, навіть авторитетно заявив, що для вирішення кубічних рівнянь "мистецтвом алгебри ще не даний спосіб, як не дано способу квадратури кола", і що тому їх слід віднести до числа "неможливих". Ця заява відвернула багатьох математиків від подальших спроб все ж знайти такий спосіб.
Багатьох, але не всіх.
Приблизно в 1515 році професор Болонського університету Сціпіо дель Ферро (1456-1526) таки винайшов шлях розв'язання кубічних рівнянь виду х3 + ax = b. Перед смертю свій секрет Ферро відкрив лише зятеві Аннібалу делла Наве та ще своєму учню Антоніо Маріо Фіоре. Останній вирішив використовувати отримані знання в турнірах з вирішення різноманітних математичних задач, які тоді були поширеними в Європі. Перемоги в подібних турнірах приносили повагу, грошові нагороди і можливість отримати пристойну посаду в якомусь з університетів.
Тарталья та його перемога
У ті ж часи до проблеми розв'язання кубічних рівнянь долучився молодий математик з Верони Нікколо Фонтане, відомий в історії науки під прізвиськом Тарталья, що в перекладі з італійської значило "заїка". Прізвищем цим він був зобов'язаний каліцтву від шабельної рани обличчя та піднебіння, отриманої ще в дитинстві від французького солдата – одного з завойовників його рідного міста Брешії під час війни з венеціанцями. Вільно розмовляти після цього він не міг. Але каліцтво не завадило йому вчитися і займатися наукою. Це був справжній подвиг, бо сім'я його була дуже бідною: батько, який працював поштарем, помер, коли йому було лише шість років, у матері окрім нього було ще двоє дітей. Навіть школу він відвідував лише 15 днів, а далі довелося працювати і вчитися в ті часи, коли інші діти гралися на вулиці. І все ж таки, його успіхи в математиці були настільки значними, що невдовзі він став заробляти на життя уроками та консультуванням інженерів, артилеристів, купців, архітекторів і будівельників. Понад те, він перекладав живою італійською мовою праці Архімеда та Евкліда і писав власні книги, присвячені питанням практичного застосування математики та механіки.
Якось за допомогою у розв’язанні задач, які зводилися до кубічних рівнянь, до нього звернувся вчитель з Брешії де Кої. Тарталья з обуренням відмовився – мовляв, не хоче навіть братися за завідомо нерозв'язні завдання. Проте задачі його зацікавили, і за деякий час Тартальї вдалося знайти спосіб побудови графіка кубічного рівняння виду х3 + ax = b і він став заявляти, що оволодів великим алгебраїчним секретом. Чутки про це дійшли і до Антоніо Фіоре, який сприйняв їх за просте вихваляння неука. Те ж саме, до речі, думав про Фіоре і Тарталья, який звідкись довідався про заповіт дель Ферро.
Однак упевнений у своїй "таємній зброї", дель Ферро викликав у 1535 році Тарталью на змагання, за умовами яких суперники обмінювалися через нотаріуса тридцятьма задачами, на розв'язання яких давалося п'ятдесят днів. Переможцем ставав той, хто розв'яже більшу кількість задач. Певна річ, усі 30 задач, які запропонував Фіоре, були кубічними рівняннями з різними коефіцієнтами. Щоб відшукати ключ до їх розв'язання, Тартальї довелося докласти максимум зусиль. Урешті-решт, за вісім днів до терміну, коли рішення треба було віддати нотаріусу, знайти спосіб таки вдалося. Тож запропоновані задачі він розв'язав упродовж двох годин. Наступного дня він знайшов і спосіб розв'язання кубічних рівнянь виду х3 = ах + b, які у зв'язку з тим, що від'ємними числами в ті часи ще не користувалися, вважалися відмінними від наведеного вище. Що ж до Фіоре, то з більшістю задач, відібраних Тартальєю з різних розділів алгебри і геометрії, він так і не впорався.
Чутка про блискучу перемогу Тартальї не лише над Фіоре, але над математичною загадкою століть, швидко поширилася Італією. Кардано, який плекав амбітні мрії, що математичний трактат, який він тоді лише писав, прийде на зміну класичній книзі Луки Пачолі, втратив спокій. Він почав буквально переслідувати Тарталью з проханням відкрити йому свої секрети. Той вперто відмовлявся, підозрюючи навіть, що Кардано – підставна особа, яку винайняв згаданий вище вчитель математики де Кої. Проте, як не дивно, за якийсь час Кардано все ж таки досяг своєї мети! В який спосіб він змусив Тарталью – людину, за спогадами сучасників далеко не янгольської вдачі – розлучитися зі своєю таємницею, не зовсім зрозуміло. Та факт залишається фактом: латинським віршем той повідомив Кардано про свій рецепт, хоча й без наведення жодних натяків на його виведення. Навзамін Кардано був змушений присягнутися, що більше нікому його не відкриє. Тож надрукувати рішення у своїй книзі він просто не мав права!
"Велике мистецтво"
Кілька років Кардано витратив на ретельну перевірку і обґрунтування отриманих правил. Дивуватися такому довгому строку не варто: алгебраїчної символіки тоді ще не було і навіть користування готовими способами, не кажучи про їхнє виведення, було справою вельми непростою. Але Кардано це вдалося, більше того, він знайшов і спосіб розв'язання рівнянь виду х3 + b = ax, а згодом і повних кубічних рівнянь. Ці рівняння він розв'язував, використовуючи за необхідності міркування, в яких обігрувалися від'ємні корені. Він допустив їх існування, хоча й називав "фіктивними", або "менш чистими". Таким чином, саме Кардано першим серед математиків почав, хоча ще й досить обережно, оперувати від'ємними числами. Мало того, Кардано навіть допустив можливість використовувати під час розрахунків комплексні числа, завдяки чому в результаті можна отримувати дійсні корені рівнянь.
У 1543 році Кардано разом зі своїм найкращим учнем Луїджі Феррарі відвідав у Болоньї зятя покійного професора Сціпіо дель Ферро – Аннібала делла Наві (як уже згадувалося, делла Наві був одним з двох осіб, яким професор довірив свій секрет). Той без особливих заперечень дозволив їм ознайомитися з паперами тестя, в яких вони знайшли вже знайомий їм опис способу розв'язання кубічного рівняння. Тепер уже нічого не зв'язувало Кардано – знайшлося ще одне джерело, звідки можна було отримати завітну формулу, отож шлях до її публікації був відкритий! У той час Джероламо Кардано вже розпочав роботу над систематичним викладенням того, що було тоді відомо з алгебри, тож не мудруючи лукаво, він включив у свою книгу "Велике мистецтво, або Про правила алгебри" (в історії математики її частіше називають просто "Велике мистецтво") розділ про кубічні рівняння з викладенням у передмові історії питання.
Книга вийшла друком 1545 року і викликала у Тартальї шаленство. Він намагався помститися, поширював образливі листи, у своїй книзі "Проблеми і різноманітні винаходи" (1546 рік) обрушився на Кардано з докорами. Замість Кардано у сварку вступив уже згадуваний його учень Феррарі – також визначний математик, результати досліджень якого з відповідними посиланнями на автора також були включені до "Великого мистецтва". Феррарі навіть викликав Тарталью на публічний диспут, який той ганебно програв. Але формулу розв'язання кубічного рівняння відтоді вже пов'язували саме з "Великим мистецтвом" і з часом за нею закріпилася назва "формула Кардано".
…Останні роки життя Кардано були нелегкими. Один його син отруїв із ревнощів дружину і був страчений. Другий став гравцем і пограбував власного батька. У 1570 році потрапив до в'язниці й сам Кардано – його переслідувала інквізиція. Через сім місяців його випустили під заклад без права друкувати свої твори і викладати. Він переїхав до Риму і полинув у лікарську практику. Утім, у 1575 році знов узявся за перо – почав писати книгу "Про моє життя". У ній він розмірковував про своє призначення, підсумовував здобутки та поразки, згадував про незвичайні випадки, що з ним траплялися. Книга ця стала найціннішим джерелом відомостей не лише про його долю, але й про ті часи…
- Джероламо Кардано
- Титульна сторінка автобіографічної книги Д. Кардано "Про моє життя"
- Тарталья