В.В. Білет, О.А. Довгоший, Ю. Престін
ОБМЕЖЕНІСТЬ КОНСТАНТ ЛЕБЕГА Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІ БАЗИСИ ФАБЕРА
Проблематика. Досліджується взаємозв’язок між обмеженістю констант Лебега для поліноміальної інтерполяції Лагранжа на компакті з Υ та існуванням базису Фабера у просторі функцій, неперервних на цьому компакті.
Мета дослідження. Метою роботи є опис умов на матрицю вузлів інтерполяції, за яких інтерполювання будьякої неперервної функції збігається з розкладанням цієї функції у ряд по базису Фабера.
Методика реалізації. Використовуються методи загальної теорії базисів Шаудера та результати, які описують збіжність інтерполяційних процесів Лагранжа.
Результати дослідження. Описано структуру матриць вузлів інтерполяції, що породжують інтерполяційні базиси Фабера.
Висновки. Кожний інтерполяційний базис Фабера породжується інтерполяційним процесом Лагранжа з матрицею спецільного виду та обмеженими константами Лебега.
Ключові слова: константа Лебега; функція Лебега; поліноміальна інтерполяція Лагранжа; базис Фабера.
О.М. Моклячук
Оцінка надійності та точності моделей φ-суб-Гауссових випадкових процесів у просторах C(T)
Проблематика. У теорії моделювання випадкових процесів досі не вивчались випадки побудови моделей процесів у C(T), елементи розкладу яких у вигляді ряду з незалежними членами неможливо знайти у явному вигляді.
Мета дослідження. Метою дослідження є вивчення надійності та точності моделей процесів із просторів Subφ(Ω), які не можуть бути розкладені в ряд явно, у просторі C(T).
Методика реалізації. На базі попередніх досліджень теорії моделювання випадкових процесів із заданими надійністю та точністю розглядається припущення про можливість розкладу випадкового процесу в ряд з елементами, знайденими з певним наближенням.
Результати дослідження. Вивчено вплив похибки наближення елементів розкладу випадкового процесу в ряд із незалежними членами на надійність і точність побудови моделі такого процесу в просторіC(T).
Висновки. Доведено теореми, які дадуть можливість оцінювати надійність і точність побудови моделі випадкового процесу в просторіC(T) у випадку, коли елементи розкладу такого процесу в ряд із незалежними членами можуть бути знайдені лише з певною похибкою, із застосуванням, наприклад, числових методів.
Ключові слова: випадкові процеси; φ-суб-Гауссові процеси; моделі випадкових процесів; точність і надійність моделювання випадкових процесів.
І.В. Веригіна
ЕФЕКТИВНІСТЬ СТРАТЕГІЙ У МОДЕЛЯХ КОНФЛІКТНОГО ПЕРЕРОЗПОДІЛУ РЕСУРСНОГО ПРОСТОРУ
Проблематика. Досліджується модель конфліктного перерозподілу ресурсного простору (території) між парою опонентів у випадку нескінченного фрактального подрібнення простору.
Мета дослідження. Розглянуто задачу про конфліктний перерозподіл ресурсного простору, якщо міри присутності опонентів на просторі є обмеженими, але не обов’язково ймовірнісними.
Методика реалізації. Для задання мір захоплених територій і знаходження їх граничних значень застосовується ймовірнісний підхід.
Результати дослідження. Встановлено існування граничних значень мір захоплених територій при нескінченному збільшенні кроку подрібнення та встановлено їх можливі значення. За допомогою комп’ютерного моделювання одержано графіки, що демонструють поведінку мір захоплених територій зі збільшенням кроку подрібнення.
Висновки. Граничні значення мір захоплених територій залежать тільки від вибраних стратегій (тобто способу структурованого подання мір, що відповідають кожному з опонентів).
Ключові слова: динамічна система конфлікту; конфліктний перерозподіл ресурсного простору; стратегії опонентів; самоподібні міри.
Н.О. Вірченко, О.В. Овчаренко
ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ q-ФУНКЦІЙ
Проблематика. У статті запроваджено нове узагальнення функції комплексної змінної (q-функцію). Такі узагальнені функції мають особливе значення для застосування у численних розділах прикладної математики.
Мета дослідження. Вивчення нового узагальнення функції комплексної змінної для застосування у прикладних науках.
Методика реалізації. Для отримання наукових результатів було використано загальні методи математичного аналізу, теорії спеціальних функцій.
Результати дослідження. Запроваджено нове узагальнення функції комплексної змінної – q-функції, вивчено основні властивості узагальненої qфункції. Доведено теорему про інтегральне зображення q = xk - аналітичної функції, побудовано формулу обернення.
Висновки. Розглянуте у статті нове узагальнення функції комплексної змінної відкриває широкі можливості для використання q-функцій у теорії спеціальних функцій, у прикладних математичних і фізичних задачах. Планується застосовувати результати до розв’язання крайових задач математичної фізики, у теорії пружності, теорії інтегральних рівнянь тощо.
Ключові слова: функція комплексної змінної; узагальнена q-функція; інтегральне рівняння.
О.В. Іванов, Н.М. Карпова
Поверхня максимумів спектральних щільностей AR(2)процесів та її застосування в статистиці часових рядів
Проблематика. В задачі про ймовірності великих відхилень оцінки найменших квадратів параметра нелінійної моделі регресії з дискретним часом та субгауссівським AR(2)шумом визначено константу, що контролює швидкість експоненціальної збіжності до нуля вказаних імовірностей.
Мета дослідження. Знайти в явному вигляді поверхню максимумів спектральних щільностей AR(2)процесів у області їх стаціонарності.
Методика реалізації. Отримання результатів роботи ґрунтується на застосуванні методології, розвинутої в роботах А. Сайдерса, К. Джапарідзе (1987 р.), О.В. Іванова (1997, 2016 рр.), і стандартних методів диференціального числення.
Результати дослідження. Отримано складну формулу, що описує неперервну поверхню максимумів спектральних щільностей AR(2)процесів, задану на трикутнику стаціонарності часових рядів цього типу.
Висновки. Одержана в роботі формула поверхні максимумів спектральної щільності шуму дає можливість зрозуміти, для яких значень коефіцієнтів характеристичного полінома AR(2)процесу можна сподіватись на більшу швидкість збіжності до нуля ймовірностей великих відхилень оцінок, про які йдеться.
Ключові слова: нелінійна модель регресії; оцінка найменших квадратів; субгауссівський білий шум; AR(2)процес; імовірності великих відхилень; поверхня максимумів спектральних щільностей.
О.В. Іванов, О.В. Маляр
КОНСИСТЕНТНІСТЬ ОЦІНКИ НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ ПАРАМЕТРІВ ТЕКСТУРОВАНОЇ ПОВЕРХНІ
Проблематика. Для синусоїдної моделі спостережень текстурованої поверхні, тобто моделі, в якій функція регресії є двопараметричним гармонійним коливанням, а шум – однорідним та ізотропним гауссівським випадковим полем на площині з нульовим середнім і коваріаційною функцією спеціального виду, розглянуто задачу статистичного оцінювання невідомих амплітуд і кутових частот синусоїдної моделі.
Мета дослідження. Вивчити асимптотичну поведінку оцінки найменших квадратів (ОНК) невідомих амплітуд і кутових частот синусоїдної моделі текстурованої поверхні.
Методика реалізації. Отримання результатів роботи ґрунтується на застосуванні методології, розвинутої в працях О.В. Іванова та ін. (2009, 2015 рр.) та монографії О.В. Іванова, М.М. Леоненка (1989 р.).
Результати дослідження. Отримано достатні умови на коваріаційну функцію випадкового шуму, за яких ОНК параметрів синусоїдної моделі є сильно консистентною.
Висновки. Отримані результати дають можливість їх узагальнення на моделі, в яких функція регресії є сумою декількох двопараметричних гармонійних коливань. Крім цього, властивість консистентності ОНК дасть змогу довести асимптотичну нормальність цих оцінок у наступних роботах.
Ключові слова: текстурована поверхня; синусоїдна модель; однорідне та ізотропне випадкове поле; коваріаційна функція; повільно змінна функція; оцінка найменших квадратів; консистентність.
А.Б. Ільєнко, В.В. Фатенко
УЗАГАЛЬНЕННЯ ЗАДАЧІ РЕНЬЇ ПРО ПАРКУВАННЯ
Проблематика. Ми розглядаємо узагальнення стохастичної моделі паркування А. Реньї. В нашій моделі ймовірнісний розподіл координати лівого кінця припаркованого автомобіля є сумішшю рівномірного та виродженого розподілів. Це дає змогу врахувати наявність водіїв із різним досвідом.
Мета дослідження. Метою роботи є вивчення асимптотики математичного сподівання кількості припаркованих автомобілів mp(x) при необмеженому зростанні довжини паркінгу x.
Методика реалізації. Одержано функціональноінтегральне рівняння, яке задовольняє функція mp. Це рівняння допускає явний розв’язок у термінах перетворення Лапласа, що уможливлює застосування тауберових теорем для дослідження потрібної асимптотики.
Результати дослідження. Для наведеної моделі показано, що mp(x)=λpx+0(x) при x→∞. Явний вигляд константи λp задано формулою Аналогічну асимптотичну оцінку отримано для більш широкого класу моделей, у яких рівномірну компоненту суміші розподілів замінено більш загальною.
Висновки. В узагальнення класичної моделі випадкового паркування А. Реньї в роботі запропоновано нову паркувальну модель. У цій моделі рівномірний розподіл місця паркування замінено на суміш рівномірного та виродженого розподілів. У новій моделі отримано аналог теореми Реньї про асимптотичну поведінку математичного сподівання кількості припаркованих автомобілів.
Ключові слова: задача Реньї про паркування; суміш розподілів; асимптотична поведінка; функціональноінтегральне рівняння; перетворення Лапласа; тауберові теореми.
О.І. Клесов, І.І. Сіренька, О.А. Тимошенко
Посилений закон великих чисел для розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь
Проблематика. У статті розглядається гранична поведінка на нескінченності розв’язків неавтономних стохастичних диференціальних рівнянь.
Мета дослідження. Мета роботи полягає у наведенні умов, за яких встановлюється посилений закон великих чисел для випадкового процесу, що є розв’язком неавтономного стохастичного диференціального рівняння.
Методика реалізації. Застосовано базові результати теорії стохастичних диференціальних рівнянь щодо оцінки стохастичних інтегралів.
Результати дослідження. Отримано достатні умови збіжності майже напевно до нуля нормованого доданка, що відповідає за дифузію в неавтономному стохастичному диференціальному рівнянні.
Висновки. Одержані результати можна використовувати для дослідження асимптотичної поведінки розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь і встановлення умов стійкості розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь, а також до задач ергодичного типу.
Ключові слова: посилений закон великих чисел; стохастичне диференціальне рівняння; вінерівський процес; асимптотична поведінка.
К.В. Моравецька
Альтернативна конструкція поверхневих мір у скінченновимірних просторах та її узгодженість із класичним підходом
Проблематика. Для поверхонь, вкладених у скінченновимірний евклідів простір, формули площі є загальновідомими. Проте у випадку нескінченновимірного банахового многовиду використання вказаних формул є неможливим. Таким чином, виникає задача знаходження такого альтернативного підходу до побудови поверхневих мір, який, з одного боку, приводить до класичних результатів у скінченновимірному випадку, а з іншого, може бути використаний і для нескінченновимірних банахових многовидів.
Мета дослідження. Для параметрично заданої поверхні, вкладеної у скінченновимірний евклідів простір, побудувати поверхневу міру, індуковану мірою Лебега і асоційованою формою. Показати узгодженість площі поверхні, обчисленої з використанням такої конструкції, з площею, обчисленою за відомими класичними формулами.
Методика реалізації. Використано базові результати математичного аналізу, теорії міри та диференціальної геометрії.
Результати дослідження. Отримано альтернативну конструкцію поверхневих мір, індукованих мірою Лебега, на поверхнях у скінченновимірному просторі Rm Показано, що такий підхід узгоджується з класичним означенням площі поверхні.
Висновки. Запропонована для нескінченновимірних просторів конструкція поверхневих мір є узагальненням класичного підходу для випадку скінченновимірних просторів. У зв’язку з цим доцільним є подальше дослідження описаного в роботі підходу.
Ключові слова: поверхнева міра; площа поверхні; векторне поле.
В.В. Куліш
Магнітні спінхвильові властивості феромагнітних наносистем різної форми. особливості врахування граничних умов при знаходженні спектра значень хвильового числа
Проблематика. Продовжується дослідження лінійних дипольнообмінних спінових хвиль у феромагнітних наносистемах, розпочате автором у попередніх роботах. Відомі роботи, що досліджують дипольнообмінні спінові хвилі, дають змогу знайти їх спектральні характеристики тільки для вузького кола спеціальних випадків. У пропонованій статті описується та застосовується підхід, що дає можливість суттєво розширити зазначене коло.
Мета дослідження. Розробка методики отримання спектральних характеристик дипольнообмінних спінових хвиль у низці конфігурацій наносистем, що базується на використанні граничних умов, а також застосування цієї методики до конкретних конфігурацій.
Методика реалізації. Пропонується методика отримання спектра значень хвильових чисел дипольнообмінних спінових хвиль у феромагнітних наносистемах низки типових конфігурацій, яка не потребує специфічних припущень типу відсутності поперечних спінових збуджень чи наявності металу високої провідності ззовні феромагнетика. Методика використовує накладання граничних умов для магнітного поля та намагніченості на границі феромагнітного середовища для лінійної спінової хвилі в магнітостатичному наближенні. Такий підхід дає змогу отримати зазначені спектральні характеристики для більш широкого кола випадків, ніж у відомих попередніх роботах.
Результати дослідження. Результатами проведеного дослідження є умови на магнітний потенціал лінійної спінової хвилі на границі феромагнітної наносистеми, які слідують із зазначених вище граничних умов, а також отриманий із цих умов на потенціал спектр значень хвильових чисел такої хвилі для досліджуваних наносистем (у неявному вигляді). Зокрема, для феромагнітної наносистеми довільного перерізу з одновимірною трансляційною симетрією записано умови, що задають зазначений спектр. Такі умови конкретизовано – й отримано вираз для зазначеного спектра в неявному вигляді – для випадку, коли зазначена наносистема є нанотрубкою колового перерізу. Проведено аналіз одержаних результатів.
Висновки. Отримані вирази для спектра значень хвильових чисел досліджуваних спінових хвиль можуть бути використані для більш широкого кола випадків, ніж у попередніх роботах, присвячених досліджуваним конфігураціям наносистем. Для нанотрубки колового перерізу за малих (порівняно зі зворотним характерним розміром перерізу нанотрубки) значень поздовжнього хвильового числа залежність від останньої поперечного хвильового числа є слабкою, як і за великих відношень поздовжньої до поперечної компоненти хвильового числа. Отриману залежність проілюстровано також графічно.
Ключові слова: спінові хвилі; наномагнетизм; дипольнообмінна теорія; граничні умови.
П.В. Лук’янов, В.М. Турик
РОЗВИТОК АНАЛІТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ КОМПАКТНИХ МОНОПОЛЬНИХ ВИХРОВИХ ТЕЧІЙ
Проблематика. Математичний опис вихрових течій як частини фундаментальних понять фізики суцільних середовищ, гідрогазодинаміки, теплофізики, теоретичних основ хімічних технологій, геофізики, метеорології.
Мета дослідження. Поповнення існуючої інформації в традиційній науковотехнічній та навчальній літературі про вихори та їх аналітичні моделі новими даними для науковців, викладачів, аспірантів і студентів з метою використання у подальших дослідженнях вихрового руху рідин і газів.
Методика реалізації. Аналітичний огляд існуючих моделей вихрових течій, зокрема монопольних компактних вихорів, на підставі нових даних наукових статей і спеціалізованих монографій та порівняння їх із традиційними даними, що містяться у відомих підручниках і навчальних посібниках.
Результати дослідження. Виявлено відсутність у традиційних науковотехнічних і навчальнометодичних джерелах новітніх моделей компактних вихорів. До їх числа можна віднести компактні аналоги точкового вихору та вихору Ренкіна: квазіточковий вихор і компактний компенсований вихор. З використанням їх і подібних до них розв’язків (кільцевий вихор, вихор із трьома областями сталої завихреності) було розроблено моделі компактних гвинтових вихорів та вихорів із гвинтовою симетрією. Проаналізовано розв’язки задач дифузії компактних вихорів (вихор Тейлора, розв’язок Клустерзіеля), турбулентної дифузії компактного вихору, розв’язки задач про квазікомпактні (ламінарне та турбулентне) вихороджерело та вихоростік, а також розв’язок задачі про генерацію компактного турбулентного вихору циліндром, що обертається. Наведені моделі узгоджуються із законом збереження енергії і тому мають перевагу в їх використанні.
Висновки. Наведено низку новітніх аналітичних моделей, що описують як ламінарну, так і турбулентну динаміку монопольних вихрових течій, але які дотепер не знайшли належного відображення в традиційній літературі. Подальші дослідження слід спрямувати на пошук аналітичних моделей когерентних вихрових структур у потоках в’язкої рідини, особливо поблизу криволінійних поверхонь, де порушується відомий у гідромеханіці “закон стінки” та мають місце аномалії тепломасообміну.
Ключові слова: компактний вихор; аналітичні моделі; ідеальна рідина; в’язка рідина; ламінарна течія; турбулентна течія; дифузія вихору; генерація вихору.
С.О. Решетняк, А.В. Лисак
ЧАСТОТНІ ЗАЛЕЖНОСТІ КОЕФІЦІЄНТА ВІДБИТТЯ ОБМІННИХ СПІНОВИХ ХВИЛЬ ВІД ОДНОВИМІРНОГО МАГНОННОГО КРИСТАЛА ЗІ СКЛАДНИМИ ІНТЕРФЕЙСАМИ
Проблематика. Робота присвячена теоретичному дослідженню поведінки спінових хвиль при проходженні через мультишаровий феромагнетик зі складними інтерфейсами.
Мета дослідження. Метою роботи є розрахунок коефіцієнта відбиття від мультишарового феромагнетика зі складними інтерфейсами як функції частоти спінової хвилі при змінному параметрі матеріалу і незмінному значенні зовнішнього магнітного поля. Формалізм геометричної оптики дає змогу описати процес заломлення спінових хвиль і коефіцієнта відбиття, а також контрольовано керувати цим процесом за рахунок зміни частоти спінової хвилі при заданих параметрах середовища.
Методика реалізації. Для знаходження коефіцієнта відбиття від мультишарового феромагнетика було використано математичний апарат геометричної оптики. При описі динаміки вектора намагніченості було застосовано формалізм параметра порядку спінової густини, що також дало змогу скористатись методами квантової механіки для розрахунку коефіцієнта відбиття від напівнескінченної багатошарової структури.
Результати дослідження. Знайдено коефіцієнт відбиття спінових хвиль від напівнескінченної багатошарової структури феромагнетиків зі складними інтерфейсами. Отримано графіки залежностей коефіцієнта відбиття від частоти спінових хвиль за різних параметрів неоднорідності магнітної анізотропії і незмінного значення зовнішнього магнітного поля.
Висновки. Показано, що частотні залежності мають періодичний характер, точки повного пропускання та зони, що відповідають повному відбиттю. Зменшення значення параметрів обміну в інтерфейсіспричиняє зростання коефіцієнта відбиття. Змінюючи параметри матеріалу, отримуємо необхідні значення інтенсивності коефіцієнта відбиття залежно від частоти при незмінному значенні зовнішнього магнітного поля.
Ключові слова: спінові хвилі; мультишаровий феромагнетик; коефіцієнт відбиття; складний інтерфейс; вектор намагніченості.