Невозможные объекты Пенроуза

В № 32 от 15 октября наша газета рассказывала о Почетном докторе КПИ им. Игоря Сикорского Роджере Пенроузе - выдающемся английском ученом - математике, физике, философе, который получил Нобелевскую премию 2020 года по физике. Мы кратко сообщили о его научных достижениях, за которые присуждена премия, о его идеях относительно человеческого мышления, вокруг которых ведутся дискуссии, а также пообещали рассказать об интересных результатах его исследований, которые называются "невозможным треугольником Пенроуза", "невозможной лестницей Пенроуза ( Пенроузов)", " мозаикой Пенроуза ". Сегодня рассказываем о "невозможных объектах".

Со 2 по 9 сентября 1954 г. в столице Нидерландов Амстердаме проходил XII Всемирный математический конгресс. По этому случаю в Городском музее Амстердама (Stedelijk Museum Amsterdam) была развернута большая выставка графических работ ныне всемирно известного нидерландского художника Маурица Корнелиса Эшера. Ее открывал член оргкомитета конгресса, секретарь его программного комитета, профессор Амстердамского университета Н. Г. де Брейн (N. G. de Bruijn). В каталоге выставки указывалось, что участники конгресса получат истинное удовольствие от того, что распознают в работах Эшера собственные идеи, выраженные средствами, которые принципиально отличаются от тех, к которым они привыкли. А в первом томе материалов конгресса была размещена краткая информация об этой выставке и отмечалось, что представленные на ней работы Эшера "демонстрируют много математических тенденций и удивительным образом связаны с математическим мышлением". Здесь же была помещена литография Эшера "День и ночь".

Студент-исследователь Р. Пенроуз был участником этого конгресса (не делегатом). Он посетил выставку и обратил внимание на работы, изображавшие объекты, которые реально существовать не могут. Под впечатлением от этих произведений он долго размышлял, и в конце концов придумал фигуру, известную ныне как "невозможный треугольник Пенроуза". Затем вместе с отцом - Лайонелом Пенроузом (членом Лондонского Королевского общества, профессором медицинской генетики и психологии), он придумал еще один невозможен объект - лестницу, ступеньки которой одновременно поднимаются и опускаются. О такого рода объектах отец и сын написали в 1956 году статью " Невозможные объекты: особый тип зрительных иллюзий" (" Impossible objects: А special type of visual illusion ").

Во вступлении к статье авторы указывали, что двумерные рисунки могут передавать впечатления от трехмерных объектов, и при определенных обстоятельствах это можно использовать для создания противоречивых интерпретаций восприятия, и многочисленные идеи такого рода использовались Эшером (при этом дали ссылку на каталог упомянутой выше выставки Эшера в Амстердаме). А дальше Пенроузы обратили внимание на существование одного особого типа фигур, в которых каждая часть воспринимается как изображение трехмерного объекта, а в целом, из-за ложных связей частей, фигура производит впечатление невозможного объекта. Как элементарный пример они дали перспективный рисунок невозможного треугольника. Каждая его часть воспринимается как параллелепипед, однако на рисунке линии проведены так, что создается впечатление невозможного объекта. Там же изобразили более сложную невозможную структуру такого же типа, как невозможный треугольник.

Далее они написали об еще одном варианте того же типа иллюзии: невозможной лестнице. Каждая часть рисунка является приемлемой, поскольку изображает пролет лестницы. Однако пролеты на рисунке связаны так, что в целом дают изображение невозможного объекта: если двигаться по часовой стрелке, то ступеньки постоянно спускаются, но идут по кругу. В статье был помещен рисунок невозможной лестницы и фото конструкции, которая, снятая с определенной точки, выглядит как невозможная лестница.

Статья Пенроузо была опубликована в "Британском психологическом журнале" (British Journal of Psychology) в 1958 году. Копию статьи авторы послали М.Эшеру. Она вдохновила художника на создание двух литографий: "Восхождение и спуск" (1960 г.) и "Водопад" (1961 г.). В обоих воплощена идея невозможной лестницы.

Следует сказать, что фигуру, известную как "Невозможный треугольник Пенроуза", изобразил еще в 30-е годы ученик гимназии швед Оскар Рейтерсверд (Oscar Reutersvаrd, 1915-2002). Впоследствии он стал художником, скульптором, профессором истории и теории искусства. И продолжал рисовать различные невозможные объекты. Однако относился к этому как к хобби - показывал эти рисунки друзьям, но никогда их не публиковал и не представлял на выставках. В конце 50-х годов Рейтерсверд получил от знакомого копию упомянутой выше статьи Пенроуза. Прочитав статью, он осознал, что невозможные объекты, которые рисовал, представляют интерес для науки. Благодаря этому у него возникло большое желание создавать новые рисунки невозможных объектов. По словам Рейтерсверда, он превратился в непрерывно действующую машину по производству невозможного, которая в дальнейшем производила около ста невозможных объектов в год. В общем он нарисовал их более 2500.

В завершение добавлю, что начиная с 60-х гг. ХХ в., все больше художников стали создавать графические и живописные работы с изображениями тех или иных невозможных объектов. И сегодня существует целое направление в изобразительном искусстве, известное под названием импоссибилизм, или имп-арт.

Владимир Игнатович

Шведська марка із зображенням одного з неможливих трикутників О.Рейтерсверда Літографія М.К.Ешера Водоспад Літографія М.К.Ешера Підйом і спуск
Неможливі трикутники Пенроуза Неможливий трикутник Пенроуза Неможливі сходи Пенроузів