Бесспорно, кибербезопасность сегодня – крайне актуально, ведь, как свидетельствуют успехи ВСУ, в нынешней войне победу одерживают не только мужеством, но и технологиями. И важное значение, среди прочего, приобретают методы обработки информации. Этому учат, в частности, в УН ФТИ.
Теория уравнений в целых числах – активно развивающаяся отрасль математики. Такие уравнения имеют множество применений в современных методах обработки информации. В физико-техническом институте активно изучают определенные виды таких уравнений. В частности, значительное внимание уделяется эллиптическим кривым. Алгоритмы шифрования, основанные на эллиптических кривых, обладают высокими характеристиками быстродействия и надежности. Некоторые криптографические применения эллиптических кривых даже входят в государственные стандарты защиты информации. Профессор УН ФТИ Анатолий Владимирович Бессалов уже много лет преподает старшекурсникам предмет криптографии на эллиптических кривых.
При изучении эллиптических кривых часто возникают сложные вопросы, исследование которых ложится в основу научных статей. Несколько лет назад А.В. Бессалов заметил интересную особенность определенной разновидности эллиптических кривых, которые называются кривыми Эдвардса. Ее заметили в ходе компьютерных расчетов.
Закономерность эта "работала" только для простых чисел p вида 8k+3 или 8k+7. Для чисел p=8k+1 или 8k+5 никакой предсказуемости количества решений не было! Такие задачи, как правило, оказываются особенно сложными. Если утверждение оправдывается только для отдельного класса чисел, нужно очень тщательно поискать, какие именно свойства данного класса обеспечивают правильность теоремы. Более того, в решениях не было заметно никакой системы. Для каждого p=8k+3 развязки распределялись достаточно хаотично, но каждый раз их насчитывалось ровно p+1!
К тому же, от количества решений уравнения зависит то, насколько трудно будет расшифровать кодировку, если информацию вдруг перехватят.
Гипотезу А.В. Бессалова удалось доказать выпускнику ФТИ Александру Рыбаку. С 2013 года Александр работает преподавателем в родном институте. Его статья с полным доказательством вышла в начале 2022 года в журнале "Theoretical and Applied Cybersecurity", издающемся на базе Физико-технического института КПИ.
Александр рассказал о своей работе: "Более двух месяцев я размышлял над гипотезой, но мне не удавалось сдвинуться с места. Наконец все-таки подобрал удачный подход. Еще около четырех месяцев занял поиск нужного доказательства делимости определенного выражения на число p. Параллельно я занимался своей диссертацией, поэтому дела обстояли не очень быстро. Но теперь я уже знал, куда двигаться.
В школьные и студенческие годы я увлекался участием в олимпиадах по математике. На таких соревнованиях часто приходится искать неожиданный подход к задаче. Может быть, это мне помогло. (Добавим, не только увлекался, но и успешно побеждал. Он единственный за все годы существования Международной студенческой математической олимпиады IMC получал Гран-при три года подряд. – Ред.).
А дальше я начал готовить статью. С перерывами это заняло много времени, хотел написать качественно, к тому же на английском. Надеюсь, моя находка пригодится ученым".