Необычные мозаики Р.Пенроуза

Этой осенью наша газета уже дважды (15 октября и 12 ноября) рассказывала о научных достижениях Почетного доктора КПИ им. Игоря Сикорского, лауреата Нобелевской премии 2020 года по физике Роджера Пенроуза. Сначала о тех, за которые присуждена премия, потом о «невозможных объектах Пенроуза», которые дали определенный толчок к появлению нового направления в искусстве импоссибилизму. Сегодня рассказываем о «мозаиках Пенроуза», которые тоже могли бы считаться невозможными, если бы не существовали.

Известно, что плоскость можно разбить на тождественные квадраты, треугольники, шестиугольники, ромбы, которые образуют узор, характеризующийся не только поворотной, но и трансляционной (элементы мозаики периодически повторяются) симметрией. Такие же свойства может иметь разбиение плоскости на фигуры нескольких типов, например, восьмиугольники и квадраты. В середине ХХ века математики начали искать ответ на вопросы: можно создать непериодическую мозаику, и каким может быть минимальное количество видов геометрических фигур, образующих ее?

В начале 70-х гг. эту проблему решил Роджер Пенроуз – профессор математики Оксфордского университета, создав непериодические мозаики, которые были названы его именем – «непериодические мозаики Пенроуза».

В 1978 г. в своей статье «Pentaplexity. A Class of Non-Periodic Tilings of the Plane» («Пентаплексичность. Класс непериодических разбиений плоскости») он написал о том, как искал и нашел эти мозаики.

Сначала Пенроуз обратил внимание на то, что правильный пятиугольник можно разрезать на шесть меньших пятиугольников и пять треугольников (рис. 1). При этом он отметил, что соединенные таким образом шесть пятиугольников является частью известной развертки додекаэдра. Далее он начал размышлять о том, как можно замостить плоскость этими пятиугольниками. Начал из вариантов, показанных на рис. 2 и искал фигуры, которыми можно заполнить промежутки между пятиугольниками. В результате создал свою первую непериодическое мозаику (рис. 3), которая состоит из шести элементов: пятиконечной звезды, ромба, «бумажного кораблика» и трех видов пятиугольников (обозначены разным цветом). Далее он начал исследовать полученную мозаику и искать, каким образом можно было бы объединить какие-то две соседние фигуры в одну, чтобы уменьшить количество различных элементов. Этим способом он сначала получил непериодическое мозаику из пяти элементов, затем из четырех, а дальше, разрезав полученные фигуры на части и объединив части в новые фигуры, Пенроуз создал мозаику из двух четырехугольников, которые, по предложению Дж.Конвея, называются «воздушным змеем» (Kite) и «дротиком» (Dart) (рис. 4 и 5). Интересно отметить, что отношение длины больших сторон этих четырехугольников к длине меньших сторон равно золотому сечению (1,6180339...). Далее Пенроуз выяснил, что из этих элементов можно создать несколько различных непериодических мозаик (две из них приведены на рисунке 5). Анализируя эти мозаики, Пенроуз доказал, что на бесконечной плоскости отношение количества «воздушных змеев» к количеству «дротиков» равно золотому сечению. А поскольку это число является иррациональным, то, значит мозаика из таких элементов является непериодической. Кстати, упомянутая статья Пенроуза есть в свободном доступе в Интернете: https://web.ma.utexas.edu/users/radin/Pentaplexity.pdf.

Далее Роджер Пенроуз пришел к выводу, что непериодическую мозаику можно образовать из двух ромбов: «толстого» – с углами 72 и 108 градусов, и «тонкого» – с углами 36 и 144 градусов (рис. 6). Эти, как и предыдущие «непериодические мозаики Пенроуза», имеют интересную особенность: они симметричны относительно оси пятого порядка. До их создания были известны мозаики только с осями симметрии третьего, четвертого, шестого порядков, поскольку правильными пятиугольниками замостить плоскость невозможно.

Интересно отметить, что четыре элемента, из которых образуются «непериодические мозаики Пенроуза», можно легко получить, нарисовав правильный пятиугольник и выполнив в нем несложные геометрические построения (рис. 7).

Создав непериодические мозаики, Пенроуз не стал отправлять статью о них в научные журналы. Он понимал, что его мозаики могут иметь разнообразное применение и составляют коммерческую ценность. Поэтому решил сначала запатентовать их в Великобритании, США и Японии, а уже потом публиковать статьи. Таким образом, он получил, в частности, патент США №4133152 «Set of tiles for covering a surface» («Набор плиток для покрытия поверхности»). Там описаны плитки, имеющие форму «воздушных змеев», «дротиков», «толстого» и «тонкого» ромбов, а также плитки, полученные из указанных путем замены прямых сторон исходных плиток различными кривыми. Интересный пример таких плиток из приведенных в патенте известен ныне как «цыплята Пенроуза». В патенте также дано описание игр, где используются подобные плитки.

Непериодические мозаики Пенроуза в наше время получили довольно широкое распространение. «Плитками Пенроуза» покрывают полы, тротуары, украшают стены, выпускают их наборы в качестве головоломок. Это не случайно. Математики знают, что скрытую красоту математических результатов чувствуют и люди, которые не изучали математику. А в мозаиках Пенроуза присутствует и скрытая, и видимая красота.