В.В. Билет, А.А. Довгоший, Ю. Престин
ОГРАНИЧЕННОСТЬ КОНСТАНТ ЛЕБЕГА И ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ БАЗИСЫ ФАБЕРА
Проблематика. Исследуется взаимосвязь между ограниченностью констант Лебега для полиномиальной интерполяции Лагранжа на компакте из Υ и существованием базиса Фабера в пространстве функций, непрерывных на этом компакте.
Цель исследования. Целью работы является описание условий на матрицу узлов интерполяции, при которых интерполирование любой непрерывной функции совпадает с разложением этой функции в ряд по базису Фабера.
Методика реализации. Используются методы общей теории базисов Шаудера и результаты, описывающие сходимость интерполяционных процессов Лагранжа.
Результаты исследования. Описана структура матриц узлов интерполяции, порождающих интерполяционные базисы Фабера.
Выводы. Каждый интерполяционный базис Фабера порождается интерполяционным процессом Лагранжа с матрицей интерполяции специального вида и ограниченными константами Лебега.
Ключевые слова: константа Лебега; функция Лебега; полиномиальная интерполяция Лагранжа; базис Фабера.
А.М. Моклячук
Оценка надежности и точности моделей φ-суб-Гауссовских случайных процессов в пространствахC(T)
Проблематика. В теории моделирования случайных процессов на сегодняшний день не изучались случаи построения моделей процессов в C(T), элементы разложения которых в виде ряда с независимыми членами невозможно найти в явном виде.
Цель исследования. Целью исследования является изучение надежности и точности моделей процессов из пространства Subφ(Ω), которые не могут быть представлены в виде ряда явно, в пространстве C(T).
Методика реализации. На базе предыдущих исследований в теории моделирования случайных процессов с заданными надежностью и точностью рассматривается допущение о возможности разложения случайного процесса в ряд с элементами, найденными с некоторым приближением.
Результаты исследования. Изучено влияние погрешности приближения элементов разложения случайного процесса в ряд с независимыми членами на надежность и точность построения модели такого процесса в пространствеC(T).
Выводы. Доказаны теоремы, которые позволят оценивать надежность и точность построения модели случайного процесса в пространстве C(T) в случае, когда элементы разложения такого процесса в ряд с независимыми членами могут быть найдены лишь с некоторой погрешностью, с применением, например, численных методов.
Ключевые слова: случайные процессы; φ-суб-Гауссовские процессы; модели случайных процессов; точность и надежность моделирования случайных процессов.
И.В. Веригина
ЭФФЕКТИВНОСТЬ СТРАТЕГИЙ В МОДЕЛЯХ КОНФЛИКТНОГО ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСНОГО ПРОСТРАНСТВА
Проблематика. Исследуется модель конфликтного перераспределения ресурсного пространства (территории) между парой оппонентов в случае бесконечного фрактального деления пространства.
Цель исследования. Рассмотрена задачао конфликтном перераспределении ресурсного пространства, если меры присутствия оппонентов на пространстве являются ограниченными, но не обязательно вероятностными.
Методика реализации. Для задания мер захваченных территорий и нахождения их предельных значений применяется вероятностный подход.
Результаты исследования. Установлено существование предельных значений мер захваченных территорий при бесконечном увеличении шага деления, и указаны их возможные значения. С помощью компьютерного моделирования получены графики, которые показывают поведение мер захваченных территорий при увеличении шага деления.
Выводы. Предельные значения мер захваченных территорий зависят только от выбранных стратегий (то есть способа структурированного представления мер, которые соответствуют каждому из оппонентов).
Ключевые слова: динамическая система конфликта; конфликтное перераспределение ресурсного пространства; стратегии оппонентов; самоподобные меры.
Н.А. Вирченко, Е.В. Овчаренко
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА q-ФУНКЦИЙ
Проблематика. В статье введено новое обобщение функции комплексного переменного (q-функцию). Такие обобщенные функции имеют особенное значение для применения в многочисленных разделах прикладной математики.
Цель исследования. Изучение нового обобщения функции комплексного переменного для применения в прикладных науках.
Методика реализации. Для получения научных результатов были использованы общие методы математического аннализа, теории специальных функций.
Результаты исследования. Введено новое обобщение функции комплексного переменного – q-функцию, изучены основные свойства обобщенной q-функции. Доказана теорема об интегральном представлении q = xk-аналитической функции, построена формула обращения.
Выводы. Рассмотренное в статье новое обобщение функции комплексного переменного открывает широкие возможности для использования q-функций в теории специальных функций, в прикладных математических и физических задачах. Планируется применить результаты к решению краевых задач математической физики, в теории упругости, теории интегральных уравнений и др.
Ключевые слова: функция комплексной переменной; обобщенная q-функция; интегральное уравнение.
А.В. Иванов, Н.Н. Карпова
Поверхность максимумов спектральных плотностей AR(2)-процессов и ее использование в статистике временных рядов
Проблематика. В задаче о вероятностях больших отклонений оценки наименьших квадратов параметра нелинейной модели регрессии с дискретным временем и субгауссовским AR(2)-шумом определена константа, которая контролирует скорость экспоненциальной сходимости к нулю указанных вероятностей.
Цель исследования. Найти в явном виде поверхность максимумов спектральных плотностей AR(2)-процессов в области их стационарности.
Методика реализации. Получение результатов опирается на применение методологии, развитой в работах А. Сайдерса, К. Джапаридзе (1987 г.), А.В. Иванова (1997, 2016 гг.), и стандартных методов дифференциального исчисления.
Результаты исследования. Получена сложная формула, которая описывает непрерывную поверхность максимумов спектральных плотностей AR(2)-процессов, заданную на треугольнике стационарности временных рядов данного типа.
Выводы. Полученная в работе формула поверхности максимумов спектральной плотности шума дает возможность понять, для каких значений коэффициентов характеристического многочлена AR(2)-процесса можно надеяться на большую скорость сходимости к нулю вероятностей больших отклонений изучаемых оценок.
Ключевые слова: нелинейная модель регрессии; оценка наименьших квадратов; субгауссовский белый шум; AR(2)-процесс; вероятности больших отклонений; поверхность максимумов спектральных плотностей.
А.В. Иванов, А.В. Маляр
Состоятельность оценки наименьших квадратов параметров текстурированной поверхности
Проблематика. Для синусоидальной модели наблюдений текстурированной поверхности, т.е. модели, в которой функция регрессии является двупараметричным гармоническим колебанием, а шум – однородным и изотропным гауссовским случайным полем на плоскости с нулевым средним и ковариационной функцией специального вида, рассмотрена задача статисти-ческого оценивания неизвестных амплитуд и угловых частот синусоидальной модели.
Цель исследования. Изучить асимптотическое поведение оценки наименьших квадратов (ОНК) неизвестных амплитуд и угловых частот синусоидальной модели текстурированной поверхности.
Методика реализации. Получение результатов работы опирается на применение методологии, развитой в работах А.В. Иванова и др. (2009, 2015 гг.) и монографии А.В. Иванова, Н.Н. Леоненко (1989 г.).
Результаты исследования. Получены достаточные условия на ковариационную функцию случайного шума, при которых ОНК параметров синусоидальной модели является сильно состоятельной.
Выводы. Полученные результаты дают возможность их обобщения на модели, в которых функция регрессии является суммой нескольких двупараметричных гармонических колебаний. Кроме того, свойство состоятельности ОНК позволит доказать асимптотическую нормальность этих оценок в следующих работах.
Ключевые слова: текстурированная поверхность; синусоидальная модель; однородное и изотропное случайное поле; ковариационная функция; медленно меняющаяся функция; оценка наименьших квадратов; состоятельность.
А.Б. Ильенко, В.В. Фатенко
ОБОБЩЕНИЕ ЗАДАЧИ РЕНЬИ О ПАРКОВКЕ
Проблематика. Мы рассматриваем обобщение стохастической модели парковки А. Реньи. В нашей модели вероятностное распределение координаты левого конца припаркованного автомобиля является смесью равномерного и вырожденного распределений. Это позволяет учесть наличие водителей с различным опытом.
Цель исследования. Целью работы является изучение асимптотики математического ожидания количества припаркованных автомобилей mp(x) при неограниченном возрастании длины парковки x.
Методика реализации. Получено функционально-интегральное уравнение, которому удовлетворяет функция mp. Это уравнение допускает явное решение в терминах преобразования Лапласа, что открывает возможность применения тауберовых теорем для исследования нужной асимптотики.
Результаты исследования. Для приведенной модели показано, что mp(x)=λpx+0(x) при x→∞. Явный вид константы λp задается формулой 
. Аналогичная асимптотическая оценка получена для более широкого класса моделей, в которых равномерная компонента смеси распределений заменена более общей.
Выводы. В обобщение классической модели случайной парковки А. Реньи в работе предложена новая модель парковки. В этой модели равномерное распределение места парковки заменено смесью равномерного и вырожденного распределений. В новой модели получен аналог теоремы Реньи об асимптотическом поведении математического ожидания количества припаркованных автомобилей.
Ключевые слова: задача Реньи о парковке; смесь распределений; асимптотическое поведение; функционально-интегральное уравнение; преобразование Лапласа; тауберовы теоремы.
О.И. Клесов, И.И. Сиренька, Е.А. Тимошенко
Усиленный закон больших чисел для решений неавтономных стохастических дифференциальных уравнений
Проблематика. В статье рассматривается предельное поведение на бесконечности решений неавтономных стохастических дифференциальных уравнений.
Цель исследования. Цель работы заключается в нахождении условий, при которых устанавливается усиленный закон больших чисел для случайного процесса, который является решением неавтономного стохастического дифференциального уравнения.
Методика реализации. Применены базовые результаты теории стохастических дифференциальных уравнений относительно оценки стохастических интегралов.
Результаты исследования. Получены достаточные условия сходимости почти наверное к нулю нормированного слагаемого, отвечающего за диффузию в неавтономном стохастическом дифференциальном уравнении.
Выводы. Полученные результаты можно использовать для исследования асимптотического поведения решений стохастических дифференциальных уравнений и установления условий устойчивости решений стохастических дифференциальных уравнений, а также к задачам эргодического типа.
Ключевые слова: усиленный закон больших чисел; стохастическое дифференциальное уравнение; винеровский процесс; асимптотическое поведение.
Е.В. Моравецкая
Альтернативная конструкция поверхностных мер в конечномерных пространствах и ее согласованность с классическим подходом
Проблематика. Для поверхностей, вложенных в конечномерное евклидово пространство, формулы площади являются общеизвестными. Однако в случае бесконечномерного банахового многообразия использование указанных формул не представляется возможным. Таким образом, возникает задача нахождения такого альтернативного подхода к построению поверхностных мер, который, с одной стороны, приводит к классическим результатам в конечномерном случае, а с другой, может быть использован и для бесконечномерных банаховых многообразий.
Цель исследования. Для параметрически заданной поверхности, вложенной в конечномерное евклидово пространство, построить поверхностную меру, индуцированную мерой Лебега и ассоциированной формой. Показать согласованность площади поверхности, посчитанной с использованием указанной конструкции, с площадью, посчитанной по известным классическим формулам.
Методика реализации. Использованы базовые результаты математического анализа, теории меры и дифференциальной геометрии.
Результаты исследования. Получена альтернативная конструкция поверхностных мер, индуцированных мерой Лебега, на поверхностях в конечномерном пространстве Rm. Показано, что такой подход согласуется с классическим определением площади поверхности.
Выводы. Предложенная для бесконечномерных пространств конструкция поверхностных мер является обобщением классического подхода для случая конечномерных пространств. В связи с этим целесообразным выглядит дальнейшее исследование описанного в работе подхода.
Ключевые слова: поверхностная мера; площадь поверхности; векторное поле.
В.В. Кулиш
Магнитные спин-волновые свойства ферромагнитных наносистем различной формы. особенности учета граничных условий при нахождении спектра значений волнового числа
Проблематика. Продолжается исследование линейных дипольно-обменных спиновых волн в ферромагнитных наносистемах, начатое автором в предыдущих работах. Известные работы, исследующие дипольно-обменные спиновые волны, позволяют найти их спектральные характеристики только для узкого круга специальных случаев. В предлагаемой статье опиисывается и применяется подход, позволяющий существенно расширить указанный круг.
Цель исследования. Разработка методики получения спектральных характеристик дипольно-обменных спиновых волн в ряде конфигураций наносистем, основанной на использовании граничных условий, а также применение этой методики к конкреетным конфигурациям.
Методика реализации. Предлагается методика получения спектра значений волновых чисел дипольно-обменных спиновых волн в ферромагнитных наносистемах ряда типовых конфигураций, которая не требует специфических предположений типа отсутствия поперечных спиновых возбуждений или наличия металла высокой проводимости вне ферромагнетика. Методика использует наложение граничных условий для магнитного поля и намагниченности на границе ферромагнитной среды для линейной спиновой волны в магнитостатическом приближении. Такой подход позволяет получение указанных спектральных характеристик для более широкого круга случаев, чем в известных предыдущих работах.
Результаты исследования. Результатами проведенного исследования являются условия на магнитный потенциал линейной спиновой волны на границе ферромагнитной наносистемы, которые следуют из указанных граничных условий, а также полученный из этих условий на потенциал спектр значений волновых чисел такой волны для исследуемых наносистем (в неявном виде). В частности, для ферромагнитной наносистемы произвольного сечения с одномерной трансляционной симметрией записаны условия, задающие указанный спектр. Такие условия конкретизированы – и получено выражение для указанного спектра в неявном виде – для случая, когда указанная наносистема является нанотрубкой кругового сечения. Проведен анализ полученных результатов.
Выводы. Полученные выражения для спектра значений волновых чисел исследуемых спиновых волн могут быть использованы для более широкого круга случаев, чем в предыдущих работах, посвященных исследуемым конфигурациям наносистем. Для нанотрубки кругового сечения при малых (по сравнению с обратным характерным размером сечения нанотрубки) значениях продольного волнового числа зависимость от последней поперечного волнового числа является слабой, как и при больших отношениях продольной компоненты волнового числа к поперечной. Полученная зависимость проиллюстрирована также графически.
Ключевые слова: спиновые волны; наномагнетизм; дипольно-обменная теория; граничные условия.
П.В. Лукьянов, В.Н. Турик
РАЗВИТИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ КОМПАКТНЫХ МОНОПОЛЬНЫХ ВИХРЕВЫХ ТЕЧЕНИЙ
Проблематика. Математическое описание вихревых течений как части фундаментальных понятий физики сплошных сред, гидрогазодинамики, теплофизики, теоретических основ химических технологий, геофизики, метеорологии.
Цель исследования. Пополнение существующей информации в традиционной научно-технической и учебной литературе о вихрях и их аналитических моделях новыми данными для научных работников, преподавателей, аспирантов и студентов с целью использования в дальнейших исследованиях вихревого движения жидкостей и газов.
Методика реализации. Аналитический обзор существующих моделей вихревых течений, в том числе монопольных компактных вихрей, на основе новых данных научных статей и специализированных монографий и сравнение их с традиционными данными, содержащимися в известных учебниках и учебных пособиях.
Результаты исследования. Выявлено отсутствие в традиционных научно-технических и учебно-методических источниках современных моделей компактных вихрей. К их числу можно отнести компактные аналоги точечного вихря и вихря Рэнкина: квазиточечный вихрь и компактный компенсированный вихрь. С использованием их и подобных им решений (кольцевой вихрь, вихрь с тремя областями постоянной завихренности) были разработаны модели компактных винтовых вихрей и вихрей с винтовой симметрией. Проанализированы решения задач диффузии компактных вихрей (вихрь Тейлора, решение Клустерзиэля), турбулентной диффузии компактного вихря, решения для задач о квазикомпактных (ламинарном и турбулентном) вихреисточнике и вихрестоке, а также решение задачи о генерации вращающимся цилиндром компактного турбулентного вихря. Приведенные модели, согласуясь с законом сохранения энергии, имеют преимущество при их использовании.
Выводы. Приведен ряд новейших аналитических моделей, описывающих как ламинарную, так и турбулентную динамику монопольных вихревых течений, но до настоящего времени не нашедших надлежащего отображения в традиционной литературе. Дальнейшие исследования следует направить на поиск аналитических моделей когерентных вихревых структур в потоках вязкой жидкости, особенно вблизи криволинейных поверхностей, где нарушается известный в гидромеханике “закон стенки” и имеют место аномалии тепломассообмена.
Ключевые слова: компактный вихрь; аналитические модели; идеальная жидкость; вязкая жидкость; ламинарное течение; турбулентное течение; диффузия вихря; генерация вихря.
С.А. Решетняк, А.В. Лысак
ЧАСТОТНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ КОЭФФИЦИЕНТА ОТРАЖЕНИЯ ОБМЕННЫХ СПИНОВЫХ ВОЛН ОТ ОДНОМЕРНОГО МАГНОННОГО КРИСТАЛЛА СО СЛОЖНЫМИ ИНТЕРФЕЙСАМИ
Проблематика. Работа посвящена теоретическому исследованию поведения спиновых волн при прохождении через мультишаровый ферромагнетик со сложными интерфейсами.
Цель исследования. Целью работы является расчет коэффициента отражения от мультишарового ферромагнетика со сложными интерфейсами как функции частоты спиновой волны при изменяемом параметре материала и неизменном значении внешнего магнитного поля. Формализм геометрической оптики позволяет описать процесс преломления спиновых волн и коэффициента отражения, а также контролируемо управлять этим процессом за счет изменения частоты спиновой волны при заданных параметрах среды.
Методика реализации. Для нахождения коэффициента отражения от мультишарового ферромагнетика был использован математический аппарат геометрической оптики. При описании динамики вектора намагниченности был применен формАлизм параметра порядка спиновой плотности, что также дало возможность воспользоваться методами квантовой механики для расчета коэффициента отражения от полубесконечной многослойной структуры.
Результаты исследования. Найдены коэффициент отражения спиновых волн от полубесконечной многослойной структуры ферромагнетиков со сложными интерфейсами. Получены графики зависимостей коэффициента отражения от частоты спиновых волн при различных параметрах неоднородности магнитной анизотропии и неизменном значении внешнего магнитного поля.
Выводы. Показано, что частотные зависимости имеют периодический характер, точки полного пропускания и зоны, соответствующие полному отражению. Уменьшение значения параметров обмена в интерфейсе приводит к росту коэффициента отражения. Изменяя параметры материала, получаем необходимые значения коэффициента интенсивности отражения в зависимости от частоты при неизменном значении внешнего магнитного поля.
Ключевые слова: спиновые волны; мультишаровый ферромагнетик; коэффициент отражения; сложный интерфейс; вектор намагниченности.