Юрий Дмитриевич Соколов родился 14 (26) мая 1896 г. в станице Лабинске на Кубани. Его отец служил в казацком полку, мать была учительницей женской гимназии. После окончания с золотой медалью Лабинской мужской гимназии Юрий Дмитриевич поступает на математическое отделение физико-математического факультета Киевского университета. Блестящие лекции А.П. Котельникова, Д.А. Граве, Б.Я. Букреева, Г.В. Пфейфера, В.А. Котельникова, К. Суслова, Р.П. Фогеля и П.Б. Воронке в значительной мере определили его будущий путь. На предложение академика Д.А. Граве Ю.Д.Соколов начал исследования классической проблемы небесной механики - задачи N тел, и уже в 1921 г. опубликовал свою первую научную статью "К движению материальной точки, которая притягивается к неподвижному центру и находится под действием пертурбационной силы".
15 апреля 1929 Ю.Д.Соколов защитил докторскую диссертацию на тему "Условия общего столкновения трех тел, взаимно притягивающихся по закону Ньютона". Она принесла ученому широкое признание и поставила его в один ряд с лучшими специалистами в области небесной механики того времени.
В январе 1933 г. Ю.Д.Соколов был одним из основателей Института математики ВУАН. В середине 30-х гг. Киевская математическая школа получила признание не только в СССР, но и во всем мире. Здесь творили Д.А. Граве, М.П. Кравчук, Г.В. Пфейфер, М.О. Лаврентьев, Н.И.Ахиезер, В.Е.Дяченко, М.Г.Крейн, М.Х.Орлов, Е.Я.Ремез, И.Я.Штаерман.
Огромное влияние на Ю.Д.Соколова имело сотрудничество с академиком М.П.Кравчуком, при содействии которого Юрий Дмитриевич стал участником I и II Всесоюзных математических съездов (в 1930 и 1934) и многих научных семинаров и конференций .
С 1922 г. по 1930 г. Юрий Дмитриевич преподавал математику в Киевском архитектурном институте, с 1929 г. по 1934 г. заведовал кафедрой математики и механики Киевского вечернего рабочего математического института, с 1930 г. по 1938 г. - кафедрой математики Киевского института кожевенной промышленности, с 1930 г. и до конца своей жизни - кафедрой математики Киевского инженерно-строительного института, с 1937 г. по 1941 г. - кафедрой математики Киевского индустриального института (так тогда назывался КПИ), с 1943 г. по 1949 г. . - кафедрой теоретической механики Киевского государственного университета.
Кафедру высшей математики КПИ Юрий Дмитриевич возглавил в 1937 г. - после увольнения с этой должности М.П. Кравчука . Юрий Дмитриевич не присоединился к общему хору осудникив выдающегося математика, которого считал своим учителем и наставником. Он старался по возможности не посещать собрания, где позорили М.П. Кравчука за клеветническими обвинениями в шпионаже, предательстве интересов государства, национализме и др.. По инициативе А.С. Смогоржевский было написано письмо-заявление в НКВД, где говорилось об огромной значимости М.П.Кравчука в науке и педагогике и категорически отрицались выдвинутые против него обвинения, который подписали Р.Й.Демаховская, В.А.Зморович, Я.С.Гольдбаум и проф. Ю.Д.Соколов. Это был очень смелый поступок для тех времен.
Юрий Дмитриевич поддержал и спас от увольнения учеников М.П. Кравчука. Он занимался их педагогической деятельностью, способствовал их научному росту и выбору приоритетов в науке и педагогике. К ним относились О.С.Смогоржевский и В.А. Зморович, которые возглавили математические кафедры КПИ в годы Великой Отечественной войны и послевоенного развития. В дальнейшем Ю.Д.Соколов поддерживал с ними тесные отношения, был оппонентом на защитах их докторских диссертаций.
Ю.Д.Соколов много сделал для укрепления математической кафедры КПИ, сохранения ее высокого научного уровня, что было начато его известными предшественниками - В.П.Ермаковом, Б.Я.Букреевом, М.П.Кравчуком. Он обогатил и расширил направления научных исследований. Во времена его руководства в КПИ начали зарождаться первые научные семинары по различным отраслям математической науки, по требованию времени расширилось количество математических дисциплин. Ю.Д. Соколов придавал большое значение научно-методической работе. На заседаниях кафедры систематически обсуждались методические доклады по наиболее сложным разделам учебной программы. Замечания и советы Юрия Дмитриевича сыграли существенную роль в повышении педагогического мастерства преподавателей.
В этот же период научные достижения Ю.Д.Соколова получили новое признание - в феврале 1939 г. его избрали членом-корреспондентом АН УССР.
Плодотворную научно-педагогическую работу Ю.Д.Соколова прервала война. Из-за болезни матери он с женой не успел эвакуироваться из Киева и в годы оккупации был руководителем Астрономической обсерватории. На первом же собрании сотрудников Ю.Д.Соколов открыто заявил: "Своей и вашей задачей я ставлю: сохранить все то ценное, что не удалось эвакуировать, и помешать немцам использовать обсерваторию для военных нужд". В штат обсерватории Юрий Дмитриевич зачислял людей, которым угрожала высылка на работу в Германию, прятал на территории обсерватории математиков, которым угрожала смерть. За спасение известного математика и педагога проф. С.И.Зуховицкого (еврея по национальности) Ю.Д.Соколова и его жену Марылю в 1993 году Отделом памяти мучеников и героев (Иерусалим) он был занесен в список праведников народов мира.
Во время отступления немецких войск сотрудникам обсерватории чудом удалось спасти имущество обсерватории от вывоза в Германию. В привезенные немцами ящики для упаковки сотрудники загрузили камни, металлолом и тряпье, а сами скрылись у знакомых в городе. За сохранение библиотеки и оборудования обсерватории Ю.Д.Соколов в 1968 был награжден медалью "За оборону Киева".
После освобождения Киева возобновила свою работу кафедра теоретической механики КГУ им. Т.Шевченко под руководством Ю.Д.Соколова. 1 августа 1944 он был восстановлен в должности заведующего отделом механики Института математики АН УССР, а в 1957 г. утвержден в должности заведующего отделом дифференциальных уравнений.
В связи с развитием космонавтики на небесную механику в СССР был наложен гриф секретности. Так как Ю.Д.Соколов находился на оккупированной территории, его отстранили от исследований задачи N тел и преподавания в Киевском университете. Тогда Юрий Дмитриевич перешел к задачам гидродинамики. Он решил ряд важных задач теории фильтрации и предложил новый приближенный метод решения дифференциальных и интегральных уравнений, который известен сегодня как метод функциональных поправок Ю.Д.Соколова. Этой тематике посвящена его монография "Метод усреднением функциональных поправок".
Под руководством Ю.Д.Соколова более 20 человек защитили диссертации. Многие из них стали известными учеными. Его лекции были образцом педагогического искусства - в них гармонично сочетались доступность, четкость и глубина научного содержания. Ю.Д.Соколов был знатоком литературы, особенно поэзии, увлекался поэзией Омара Хайяма, весьма уместно декламировал в заключение некоторых научных семинаров или даже на Ученом совете, обладал феноменальной памятью, знал много иностранных языков - английский, итальянский, польский, белорусский, французский и немецкий.
Уже в преклонном возрасте Ю.Д.Соколов был одним из трех математиков с академическими званиями, которые в 1960-х гг выступили против закрытых судов над правозащитниками.
Он оставил после себя весомое научное наследие - 104 статьи и 2 монографии. Монография Ю.Д.Соколова "Особые траектории системы свободных материальных точек", опубликованная в 1951 г., стала достоянием небесной механики. В 1967 г. за успехи в развитии советской науки и внедрение научных достижений в народное хозяйство Юрий Дмитриевич был награжден орденом Трудового Красного Знамени.
Умер Юрий Дмитриевич 2 февраля 1971 Похоронен на Байковом кладбище в Киеве.