You are here

Жизнь и открытия Джероламо Кардано, или Секреты одной формулы


Джероламо Кардано

Карданный вал, карданные сцепления, карданный подвес - эти вещи сегодня хорошо известны, особенно автомеханикам и специалистам по инерционной навигации. Математики еще знают формулу Кардано, специалисты шифровального дела - "решетки Кардано". Все это - дело рук, или, скорее, ума великого математика, механика, инженера, геолога, астронома - одним словом, энциклопедиста эпохи Возрождения Джероламо Кардано. Впрочем, сам себя он считал прежде всего выдающимся врачом - в автобиографической книге "О моей жизни" даже сравнивал себя с Гиппократом, Галеном и Авиценной!

Происхождение

Он родился 24 сентября 1501 года - ровно 510 лет назад - в древнем городе Павия, на севере Италии. 510 лет - дата, конечно, не «круглая», но и 10 лет назад о полутысячелетнем юбилее одного из наиболее заметных представителей эпохи Ренессанса, кажется, почти никто не вспомнил. Наверное, сказалась временное расстояние: мы охотно отмечает столетние, даже двухсотлетние даты, но дальше вглубь истории почти не заглядываем. Возможно потому, что люди, которые жили так давно, кажутся нам существами полумифическими, даже несмотря на их свершения и достижения. Но они же жили, и о жизни некоторых из них, как например, Кардано, мы знаем достаточно много.

Итак, отец Джероламо Кардано был известным адвокатом, имя которого встречается даже в заметках Леонардо да Винчи, но мальчик родился вне брака. Это очень помешало ему в дальнейшем, поскольку когда после окончания Падуанского университета в 1526 году он пытался получить врачебную практику в Милане, в городскую коллегию врачей его как незаконнорожденного не приняли. Впрочем, лечить он все же начал, но в провинциальном городке Галларт. При этом самоотверженно продолжал исследовать тайны медицины и даже начал писать трактаты на медицинские темы. Однако не только на медицинские, так интересовала его и философия, и астрология, и много чего еще. Примерно в те же времена начал он и карьеру лектора по математике: эта наука привлекала его с детства, и уже в юности он достиг в ней успехов не меньших, а может и больших, чем в медицине. А еще он постоянно совершенствовал мастерство в азартных играх, к которым присоединился еще в юношеские годы. Причем не только играл, но и пытался найти в игре определенные закономерности, что в конце концов вылилось в один из его вполне научных трудов - "Книгу об игре в кости", которая содержала начало теории вероятностей, некоторые вопросы комбинаторики и даже психологии (конечно, игры и игроков). Заметим, что книга была написана, когда он был еще очень молодым человеком - в 1526 году, но выдал он ее только 1563 году.

Эрудит эпохи Возрождения

Вообще, книг за свою жизнь он написал очень много. Ведь занимался не только медициной и математикой, но и философией, химией, геологией, минералогией, составлением календарей, астрономией и астрологией и, конечно, изобретательством и конструированием различных технических устройств. Известно 138 его печатных работ общим объемом примерно 7000 страниц большого формата - in folio. Был даже автором своеобразных энциклопедий - книги "О тонких материях" и "О разнообразии вещей". К тому же, около 100 (!) собственных творений он уничтожил сам в ожидании ареста за несколько лет до смерти.

Во всех отраслях, которыми занимался Джероламо Кардано, он достигал немалого успеха. Известно, например, что к услугам его как астролога прибегал даже Папа Римский (в те годы составления гороскопов считалось вполне богоугодным делом). Существует даже версия, что и смерть его была неслучайной: якобы он покончил с собой, чтобы подтвердить собственноручно составленный свой гороскоп. Сведения об особенностях его характера, которые дошли до нашего времени, если не заставляют поверить в эту мрачную легенду, то по крайней мере многое в его жизни объясняют.

Азартный, мстительный, отчаянный, острый на язык, ради достижения цели готов на любые поступки и одновременно благородный и верный в дружбе, Кардано, безусловно, был личностью неординарной. Недаром позже великий немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц заметил: "Кардано был великим человеком со всеми его недостатками; без них он был бы совершенным". Справедливости ради стоит отметить, что эти недостатки были следствием тяжелого детства: мать считала его бременем, стеснялась как позора и часто вымещали на нем свой гнев избиением; отец жил отдельно и при встречах также ограничивал воспитательное воздействие шлепками; к тому же и крепким здоровьем Кардано не мог похвастаться ни в детстве, ни в зрелом возрасте. Поэтому то, что другие получали без всяких усилий, ему приходилось в жизни вырывать. Совершенно очевидно, что во многом именно ранний опыт выживания и сформировал в конце концов как положительные, так и отрицательные черты его характера и желание признания.

Последнее было в его жизни чрезвычайно важным. Известно, например, что даже знаменитое устройство, получившее его имя и известное ныне как карданный вал или карданный подвес, появился в 1541 году в результате того, что Кардано (тогда уже ректору городской коллегии врачей) была оказана честь в числе самых почитаемых граждан Милана встречать испанского короля Карла V. Он даже шел у королевского балдахина. Растроганный таким проявлением уважения, он предложил оборудовать экипаж венценосца подвесом из двух валов, взаимное вращение которых не будет выводить карету из горизонтального положения. Правда, идея такого подвеса была известна достаточно давно и даже нашла место в "Атлантическом кодексе" Леонардо да Винчи, однако с этим сводом самых различных сведений почти из всех тогда известных областей знаний образованные люди смогли познакомиться только через два века. А конструкция эта начала применяться все шире в различных вариантах и использоваться в технике именно после обнародования Кардано.

Тайна кубических уравнений

Формула Кардано Приблизительно в те же годы Кардано активно занимается математикой. Еще в тридцатые годы он начал работать над большим трактатом по арифметике, первое издание которого вышло в свет 1539 г. "Практика общей арифметики" принесла ему признание в среде знатоков математики, но сам автор ней был не слишком доволен. Причиной было то, что в ней не нашла отражение разгадка одной тогдашней математической тайны, которой он хотя и владел, но не мог обнародовать через обстоятельство, связанное с автором этого открытия.

Речь идет о способе решения кубических уравнений. Или, скорее, о рецептах их решений, потому что к внедрению алгебраической символики оставалось еще более ста лет, и то, как находить корни уравнений, математики объясняли описаниями необходимых действий, часто - стихотворной латынью.

К решению этой проблемы европейские и арабские математикы подбирались несколько веков. В 1494 году известный итальянский ученый Лука Пачоли в книге "Сумма арифметики" - одном из первых печатных математических трактатов, написанных, к тому же, не на латыни, а на итальянском языке, даже авторитетно заявил, что для решения кубических уравнений "искусством алгебры еще не дан способ, как не дано способа квадратуры круга ", и поэтому их следует отнести к числу" невозможных ". Это заявление отвлекло многих математиков от дальнейших попыток все же найти такой способ.

Многих, но не всех.

Примерно в 1515 году профессор Болонского университета Сципио дель Ферро (1456-1526) уже изобрел путь решения кубических уравнений вида х3 + ax = b. Перед смертью свой секрет Ферро открыл только зятю Аннибалу делла Наве и еще своему ученику Антонио Марио Фиоре. Последний решил использовать полученные знания в турнирах по решению различных математических задач, которые тогда были распространены в Европе. Победы в подобных турнирах приносили уважение, денежные награды и возможность получить приличную должность в каком-то из университетов.

Тарталья и его победа

Нікколо ФонтанеУ те же времена к проблеме решения кубических уравнений приступил молодой математик из Вероны Никколо Фонтане, известный в истории науки под прозвищем Тарталья, что в переводе с итальянского значило "заика". Прозвищу этому он был обязан увечью от сабельной раны лица и неба, полученной еще в детстве от французского солдата - одного из завоевателей его родного города Брешии во время войны с венецианцами. Свободно разговаривать после этого он не мог. Но увечье не помешало ему учиться и заниматься наукой. Это был настоящий подвиг, потому что семья его была очень бедной: отец, работавший почтальоном, умер, когда ему было всего шесть лет, у матери кроме него было еще двое детей. Даже школу он посещал лишь 15 дней, а дальше пришлось работать и учиться в то время, когда другие дети играли на улице. И все же, его успехи в математике были настолько значительными, что вскоре он стал зарабатывать на жизнь уроками и консультированием инженеров, артиллеристов, купцов, архитекторов и строителей. Более того, он переводил живым итальянским языком труды Архимеда и Евклида и писал собственные книги, посвященные вопросам практического применения математики и механики.

Как-то за помощью в решении задач, которые сводились к кубическим уравнениям, к нему обратился учитель Брешии где Кои. Тарталья с возмущением отказался - мол, не хочет даже браться за заведомо неразрешимые задачи. Однако задачи его заинтересовали, и через некоторое время Тартальи удалось найти способ построения графика кубического уравнения вида х3 + ax = b и он стал заявлять, что овладел большим алгебраическим секретом. Слухи об этом дошли и до Антонио Фиоре, который воспринял их за простое восхваление невежды. То же самое, кстати, думал о Фиоре и Тарталья, который откуда-то узнал о завещании дель Ферро.

Однако уверенный в своем "тайном оружии", дель Ферро вызвал в 1535 году Тарталью на соревнования, по условиям которых соперники обменивались через нотариуса тридцатью задачами, на решение которых давалось пятьдесят дней. Победителем становился тот, кто решит большее количество задач. Конечно, все 30 задач, которые предложил Фиоре, были кубическими уравнениями с различными коэффициентами. Чтобы отыскать ключ к их решению, Тартальи пришлось приложить максимум усилий. В конце концов, за восемь дней до срока, когда решение нужно было отдать нотариусу, найти способ удалось. Поэтому предложенные задачи он решил в течение двух часов. На следующий день он нашел и способ решения кубических уравнений вида х3 = ах + b, которые в связи с тем, что отрицательными числами в те времена еще не пользовались, считались отличными от приведенного выше. Что касается Фиоре, то с большинством задач, отобранных Тартальей по различным разделам алгебры и геометрии, он так и не справился.

Слух о блестящей победе Тартальи не только над Фиоре, но над математической загадкой веков, быстро распространился по Италии. Кардано, который лелеял амбициозные мечты, что математический трактат, который он тогда только писал, придет на смену классической книге Луки Пачоли, потерял покой. Он начал буквально преследовать Тарталью с просьбой открыть ему свои секреты. Тот упорно отказывался, подозревая даже, что Кардано - подставное лицо, что снял упомянутый выше учитель математики где Кои. Однако, как ни странно, через некоторое время Кардано все же достиг своей цели! Каким образом он заставил Тарталью - человека, по воспоминаниям современников далеко не ангельского характера - расстаться со своей тайной, не совсем понятно. Но факт остается фактом: латинским стихом тот сообщил Кардано о своем рецепте, хотя и без указания никаких намеков на его выведение. Взамен Кардано был вынужден поклясться, что больше никому его не откроет. Поэтому напечатать решение в своей книге он просто не имел права!

"Большое искусство"

Несколько лет Кардано потратил на тщательную проверку и обоснование полученных правил. Удивляться такому долгому сроку не стоит: алгебраической символики тогда еще не было и даже пользование готовыми способами, не говоря об их выводе, было делом весьма непростым. Но Кардано это удалось, более того, он нашел и способ решения уравнений вида х3 + b = ax, а затем и полных кубических уравнений. Эти уравнения он решал, используя при необходимости рассуждения, в которых обыгрывались отрицательные корни. Он допустил их существование, хотя и называл "фиктивными", или "менее чистыми". Таким образом, именно Кардано первым среди математикив начал, хотя бы и очень осторожно, оперировать отрицательными числами. Мало того, Кардано даже допустил возможность использовать в расчетах комплексные числа, благодаря чему в итоге можно получать действительные корни уравнений.

В 1543 году Кардано вместе со своим лучшим учеником Луиджи Феррари посетил в Болонье зятя покойного профессора Сципио дель Ферро - Аннибала делла Нави (как уже упоминалось, делла Нави был одним из двух человек, которым профессор доверил свой секрет). Тот без особых возражений позволил им ознакомиться с бумагами тестя, в которых они нашли уже знакомое им описание способа решения кубического уравнения. Теперь уже ничего не связывало Кардано - нашелся еще один источник, откуда можно было получить заветную формулу, поэтому путь к ее публикации был открыт! В то время Джероламо Кардано уже начал работу над систематическим изложением того, что было тогда известно из алгебры, поэтому не мудрствуя лукаво, он включил в свою книгу "Великое искусство, или О правилах алгебры" (в истории математики ее чаще называют просто "Большое искусство ") раздел о кубических уравнениях с изложением в предисловии истории вопроса.

Титульна сторінка автобіографічної книги Д. КарданоКнига вышла 1545 г. и вызвала в Тартальи неистовство. Он пытался отомстить, распространял оскорбительные письма, в своей книге "Проблемы и различные изобретения" (1546) обрушился на Кардано с упреками. Вместо Кардано в ссору вступил уже упоминавшийся его ученик Феррари - также выдающийся математик, результаты исследований которого с соответствующими ссылками на автора также были включены в "Большое искусство". Феррари даже вызвал Тарталью на публичный диспут, который тот позорно проиграл. Но формулу решения кубического уравнения с тех пор уже связывали именно с "Большим искусством" и со временем за ней закрепилось название "формула Кардано".

... Последние годы жизни Кардано были нелегкими. Один его сын отравил с ревности жену и был казнен. Второй стал игроком и ограбил собственного отца. В 1570 году попал в тюрьму и сам Кардано - его преследовала инквизиция. Через семь месяцев его выпустили под залог без права печатать свои произведения и преподавать. Он переехал в Рим и занялся врачебной практикой. Впрочем, в 1575 году вновь взялся за перо - начал писать книгу "О моей жизни". В ней он размышлял о своем назначении, суммировал достижения и поражения, вспоминал о необычных случаях, что с ним случались. Книга эта стала ценным источником сведений не только о его судьбе, но и о тех временах ...

Дмитрий Стефанович

x

Електронний кампус

Інформаційні ресурси

Викладачі КПІ

GitHub репозиторій